向量场的旋度与散度（一）：旋度、散度和Nabla算子

前置内容：偏微分，向量

在物理学研究中，常常要考察一定空间内某种量的分布情况，而数学上引入了场 (field) 来描述这种分布情况。场将空间中的每一个点都映射到一个标量 (scalar) 或一个向量 (vector)，甚至也可以是二阶或更高阶的张量 (tensor)。当一个场将每个点都映射到一个向量时，这个场就是一个向量场 (vector field)。向量场的应用有很多，如生活中的风向场、水流场，物理学中的电场与磁场以及其他的力场也都属于向量场。

通量与散度

考虑一个空间向量场，为了方便表示，我们引入空间直角坐标系，那么空间中每一点都可以写作$(x, y, z)$，而空间向量场可以表示为

$$\boldsymbol{F}=F_x\boldsymbol{i}+F_y\boldsymbol{j}+F_z\boldsymbol{k}\tag{1}$$
其中$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$为空间中三个坐标轴方向上的单位向量，$F_x, F_y, F_z$均为$x, y, z$的函数。

如果把一个粒子放在向量场$\boldsymbol{F}$中，并且这个粒子在每一点处的速度就是该点对应的向量，我们不难想象粒子在场中运动的过程。如果在每个点上都放置一个粒子，并在空间中插入一个有面积的平面$S$，那么单位时间内通过$S$的粒子数量就可以看作是通量 (flux)。

这里我们说明的通量是个十分粗略的概念，为了有明确的定义，我们首先要说明什么样算是“通过”了平面$S$。根据经验，我们知道只有在$S$的垂直方向上通过的才能算是有效通过了平面。而与平面$S$垂直，就相当于和平面的单位法向量$\boldsymbol{e_n}$平行。于是通量可以写成

$$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{e_n}\text{d}S$$
习惯上$\boldsymbol{e_n}dS$可以直接写作$d\boldsymbol{S}$，于是通量也可以写成是 $$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S}$$
当$S$是曲面时也和平面有一样的定义方式，特别地，如果$S$是空间中闭合的曲面，那么一般会写成 $$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S}$$

现在我们可以用通量来衡量场通过某个闭合曲面的量，如果将通量比上闭合曲面围成的体积，我们就可以得到某个区域的“通量密度”，也可以看作是这个区域的“发散程度”。当这个区域趋近于一个点时，我们得到的就是场在这个点的“发散程度”，称为散度 (divergence)。散度的一个定义式就是

$$\text{div}\boldsymbol{F}=\lim_{V\rightarrow0}\frac{1}{V}\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S}\tag{2}$$ 其中，$S$是$V$的边界。
为了得到散度更方便的表达式，我们考虑一个长方体表面的通量总和。此时，下表面$S_1$的通量为 $$\Phi_{z_1}=\iint_{S_1}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S_1}=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\boldsymbol{F}(x,y,z_1)\cdot\boldsymbol{e_{n_1}}\text{d}x\text{d}y\tag{3.1.1}$$ 上表面$S_2$的通量为 $$\Phi_{z_2}=\iint_{S_2}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S_2}=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\boldsymbol{F}(x,y,z_2)\cdot\boldsymbol{e_{n_2}}\text{d}x\text{d}y\tag{3.1.2}$$ 由闭合曲面通量的意义可知，$\boldsymbol{e_{n_1}}$和$\boldsymbol{e_{n_2}}$的方向相反且方向均为$z$轴方向，于是上下两个面的总通量为 $$\Phi_{z}=\Phi_{z_1}+\Phi_{z_2}\\ =\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\boldsymbol{F}(x,y,z_1)\cdot(-\boldsymbol{k})\text{d}x\text{d}y\\ +\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\boldsymbol{F}(x,y,z_2)\cdot\boldsymbol{k}\text{d}x\text{d}y\\=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}(F_z(x,y,z_2)-F_z(x,y,z_1))\text{d}x\text{d}y\\=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\int_{z_1}^{z_2}\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}}\text{d}z\text{d}x\text{d}y\\=\iiint_{V}\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}}\text{d}V\tag{3.1}$$
同样的道理，我们可以得到另外两个方向上 $$\Phi_x=\iiint_{V}\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}}\text{d}V\tag{3.2}$$ $$\Phi_y=\iiint_{V}\frac{\partial{F_y}}{\partial{y}}\text{d}V\tag{3.3}$$
三式相加得到 $$\Phi=\iiint_{V}(\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}})\text{d}V\tag{3}$$
也即 $$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{S}=\iiint_{V}(\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}})\text{d}V\tag{3'}$$
这就是高斯定理 (Gauss's Theory) 或散度定理 (Divergence Theory)。
此时，可能有人会注意到我们推导要求体积分区域是个长方体，而高斯定理对任何体积分都应该成立。其实，我们可以将积分区域像求定积分那样分割成无穷个小的长方体，体积分是所有小长方体体积分之和，而小长方体的通量之和在区域内部可以相互抵消，最后只剩外围边界的通量。那么只要长方体的高斯定理成立，那么所有立体图形也都应该同样成立。
当体积分的区域趋近于一个点时，我们也可以知道 $$\text{div}F=\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}}\tag{4}$$

环量与旋度

我们继续考虑向量场$\boldsymbol{F}$中的粒子，不过现在场所代表的不是速度而是某种力。粒子会在场中运动，假设它的运动轨迹为$L$。从能量的角度，我们可能想要知道场力对这个运动的粒子做了多少功。如果$L$是一个线段，并且$\boldsymbol{F}$恒定，那么很容易可以知道总功就是$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{l}$，其中$\boldsymbol{l}$是路径$L$对应的向量。那么如果路径并不是一个线段，或者$\boldsymbol{F}$并不恒定，总功将如何计算呢？此时引入线积分就可以很好解决这个问题：总功可以表示为

$$\int_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}$$
当积分路径$L$是个闭合曲线时，也可以记作 $$\oint_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}$$
此时，我们所算的总功其实就是数学上的环量 (circulation)。

当我们将环量比上闭合路径$L$围成的面积$S$，就可以得到某个区域的“环量密度”或者“旋转程度”，而当这个区域趋近于一个点时，我们就得到了向量场某个点的“旋转程度”，即旋度 (curl)。和散度类似，旋度定义为

$$\text{curl}\boldsymbol{F}=\lim_{S\rightarrow0}\frac{1}{S}\oint_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}\tag{5}$$
旋度更方便的形式还需要我们另外推导。我们现在先不考虑空间的问题，而是转向平面向量场。由于平面只有两个自由度，平面向量场可以比空间向量场少一个分量 $$\boldsymbol{F}=F_x\boldsymbol{i}+F_y\boldsymbol{j}\tag{6}$$
考虑一个矩形的闭合路径$L$，路径具有逆时针的方向。我们将路径分为四段$L_1,L_2,L_3,L_4$，方向依次为向上、向左、向下、向右。四段路径上的线积分很容易得到 $$\Gamma_1=\int_{L_1}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l_1}=\int_{y_1}^{y_2}F_y(x_2,y)\text{d}y\tag{7.1}$$ $$\Gamma_2=\int_{L_2}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l_2}=\int_{x_2}^{x_1}F_x(x,y_2)\text{d}x\tag{7.2}$$ $$\Gamma_3=\int_{L_2}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l_3}=\int_{y_2}^{y_1}F_y(x_1,y)\text{d}y\tag{7.3}$$ $$\Gamma_4=\int_{L_4}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l_4}=\int_{x_1}^{x_2}F_y(x,y_1)\text{d}x\tag{7.4}$$
四个式子相加得到 $$\Gamma=(\Gamma_1+\Gamma_3)+(\Gamma_2+\Gamma_4)\\=\int_{y_1}^{y_2}(F_y(x_2,y)-F_y(x_1,y))\text{d}y\\+\int_{x_1}^{x_2}(-F_x(x,y_2)+F_x(x,y_1))\text{d}x\\=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}\text{d}x\text{d}y+\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}(-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\text{d}y\text{d}x\\=\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\text{d}x\text{d}y\\=\iint_{S}(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\text{d}S\tag{7}$$
也即 $$\oint_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}=\iint_{S}(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\text{d}S\tag{7'}$$
这就是格林公式 (Green's Formula)，而且同高斯定理一样，只要矩形路径成立，平面上任何形状的路径都可以成立。当面积趋于无穷小时，得到 $$\text{curl}\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}}\tag{8}$$
平面上的旋度解决了，我们尝试转向空间。麻烦的是，空间中经过一个点有无穷多个平面，每个平面上都可以找到对应的旋度，那么哪一个才是空间的旋度呢？为了更好地展现一个点的“旋转程度”，我们应该考察的是所有旋度中的最大值。因此，空间中的旋度应该是一个矢量，大小代表最大的旋度，而方向代表此时对应平面的法向量，即“旋转轴”。空间中的旋度应该这样定义 $$\text{curl}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{e_n}\lim_{S\rightarrow0}\frac{1}{S}\oint_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}\vert_{max}\tag{9}$$
空间旋度可以算作是向量场在三个平面上投影后的旋度的叠加，代入每个面具体的值就是 $$\boldsymbol{i}\cdot\text{curl}\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_y}}{\partial{z}}\tag{10.1}$$ $$\boldsymbol{j}\cdot\text{curl}\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_z}}{\partial{x}}\tag{10.2}$$ $$\boldsymbol{k}\cdot\text{curl}\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}}\tag{10.3}$$
叠加后得到 $$\text{curl}\boldsymbol{F}=(\frac{\partial{F_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_y}}{\partial{z}})\boldsymbol{i}+(\frac{\partial{F_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_z}}{\partial{x}})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\boldsymbol{k}\tag{10}$$
如果我们将不同平面上的格林公式按相似的方法叠加，就得到 $$\oint_{L}\boldsymbol{F}\cdot\text{d}\boldsymbol{l}=\iint_{S}(\frac{\partial{F_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_y}}{\partial{z}})\text{d}y\text{d}z+(\frac{\partial{F_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_z}}{\partial{x}})\text{d}z\text{d}x+(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\text{d}x\text{d}y\tag{11}$$
这就是斯托克斯公式 (Stokes's Formula)，值得注意的是，$S$可以是空间的曲面而不一定是平面。

Nabla算子

我们发现，散度和旋度都和向量不同分量的偏导数有关，那么是否可以用一种比较统一的方式表示他们呢？为了更好地得到结果，我们将偏导数看成是偏导算子和原函数的乘积，那么就可以对旋度的表达式进行变形

$$\text{curl}\boldsymbol{F}=(\frac{\partial{F_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_y}}{\partial{z}})\boldsymbol{i}+(\frac{\partial{F_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_z}}{\partial{x}})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial{F_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_x}}{\partial{y}})\boldsymbol{k}\\ =\left\vert\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\F_y&F_z\end{matrix}\right\vert\boldsymbol{i}-\left\vert\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\F_x&F_z\end{matrix}\right\vert\boldsymbol{j}+\left\vert\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}\\F_x&F_y\end{matrix}\right\vert\boldsymbol{k}\\ =\left\vert\begin{matrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\F_x&F_y&F_z\end{matrix}\right\vert\tag{10'}$$
此时引入 $$\nabla=\frac{\text{d}}{\text{d}r}=\frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\boldsymbol{k}\tag{11}$$
我们很容易就可以发现有
$$\nabla\times\boldsymbol{F}=\left\vert\begin{matrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\F_x&F_y&F_z\end{matrix}\right\vert=\text{curl}\boldsymbol{F}\tag{12.1}$$
$$\nabla\cdot\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F_z}}{\partial{z}}=\text{div}\boldsymbol{F}\tag{12.2}$$
旋度和散度就被这个神奇的算子统一起来了！这个倒三角形的算子$\nabla$读作"nabla"，因此也叫作“nabla算子” (nabla operator)。其实不光是向量场的旋度和散度，标量函数的梯度场也可以被统一起来。梯度场的表达式 $$\text{grad}f=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\boldsymbol{i}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\boldsymbol{j}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\boldsymbol{k}=\nabla{f}\tag{13}$$ 同样也和nabla算子关联了起来。
在知道了nabla算子后，我们可以在引入另一个算子--拉普拉斯算子$\Delta$(Laplace operator)，其定义为 $$\Delta{f}=\nabla^2{f}=\nabla\cdot\nabla{f}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{z}^2}\tag{14}$$ 可以发现拉普拉斯算子其实就是梯度场的散度，关于其在物理上的应用就不在此讨论了。