向量场的旋度与散度（二）：常用恒等式及其证明

上篇 -- 向量场的旋度与散度（一）：旋度、散度和Nabla算子

向量分析常见恒等式

研究向量场时，常常会使用一些特殊的恒等式。熟悉这些恒等式可以方便解决很多问题。

梯度无旋，旋度无散

梯度无旋和旋度无散描述的是下面两个式子

$$\nabla\times(\nabla{\varphi})=\boldsymbol{0}\tag{1}$$ $$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{F})=0\tag{2}$$
要证明$(1)$式，首先考察左边在$x$轴方向上的分量
$$\boldsymbol{i}\cdot[\nabla\times(\nabla{\varphi})]=\frac{\partial}{\partial{y}}(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}})-\frac{\partial}{\partial{z}}(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}})=0\tag{1'}$$
同理，左边在另外两个方向上的分量也为零，所以梯度的旋度必然为零向量，$(1)$式得证。
$(2)$式的证明也相当简单，将定义代入即可，请读者自证。

积的旋度与散度

向量场的积（向量场乘标量函数，向量场叉乘向量场）同样有旋度和散度，他们符合下面这些恒等式

$$\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{F})=\nabla{\varphi}\cdot\boldsymbol{F}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{F}\tag{3}$$ $$\nabla\cdot(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G})=(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{G}-(\nabla\times\boldsymbol{G})\cdot\boldsymbol{F}\tag{4}$$ $$\nabla\times(\varphi\boldsymbol{F})=\nabla{\varphi}\times\boldsymbol{F}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{F}\tag{5}$$ $$\nabla\times(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G})=(\nabla\cdot\boldsymbol{G}+\boldsymbol{G}\cdot\nabla)\boldsymbol{F}-(\nabla\cdot\boldsymbol{F}+\boldsymbol{F}\cdot\nabla)\boldsymbol{G}\tag{6}$$
$(3)$式的证明比较简单
$$\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{F})=\sum_{xyz}\frac{\partial}{\partial{x}}(\varphi{F_x})\\=\sum_{xyz}(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}F_x)+\sum_{xyz}(\varphi\frac{\partial{F_x}}{\partial{x}})\\=\nabla{\varphi}\cdot\boldsymbol{F}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{F}\tag{3'}$$
$(5)$式的证明先考察其中一个分量，发现和$(3)$情况类似
$$\boldsymbol{i}\cdot[\nabla\times(\varphi\boldsymbol{F})]=\frac{\partial}{\partial{y}}(\varphi{F_z})-\frac{\partial}{\partial{z}}(\varphi{F_y})\\=(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}F_z-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}F_y)+\varphi(\frac{\partial{F_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_y}}{\partial{z}})\\=\boldsymbol{i}\cdot[\nabla{\varphi}\times\boldsymbol{F}+\varphi\nabla\times\boldsymbol{F}]\tag{5'}$$
三个分量相加即证。

另外，由于向量场的旋度又可以构成一个向量场，因此我们可以求旋度场的旋度。它满足

$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{F})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{F})-\nabla^2\boldsymbol{F}\tag{7}$$

更简便的表达方式

我们现在已经知道了向量场相关的一些恒等式并尝试证明了一些，但我们的证明的表达并不算简便，尤其对于涉及向量积、旋度的证明。因此，我们需要引入一些记号来简化证明过程。

爱因斯坦求和约定

爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)被用来简化求和式。回到$(3')$式中，我们用

$$\sum_{xyz}\frac{\partial}{\partial{x}}$$ 来表示散度，如果把$x,y,z$替换为$x_1,x_2,x_3$，求和式就可以改写成 $$\sum_{i}\frac{\partial}{\partial{x_i}}$$
爱因斯坦表示，求和号写起来太麻烦了，可以直接略去，于是$(3')$直接改写为 $$\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{F})=\frac{\partial}{\partial{x_i}}(\varphi{F_i})=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_i}}F_i+\varphi\frac{\partial{F_j}}{\partial{x_j}}=\nabla{\varphi}\cdot\boldsymbol{F}+\varphi\nabla\cdot\boldsymbol{F}\tag{3''}$$
细心的读者可能会发现，在第二个等号后面多出现了下标$j$。这是因为在$(3')$中第二个等号是两个不同的求和式，因此在省略求和号时，我们要用两个不同的下标表示。这样在求和式中轮换取值得的下标被称为哑指标(dummy index)，而不求和的指标则是自由指标(free index)。例如在下面这个式子中，$i$是自由指标，$j$是哑指标 $$a_i=b_{ij}c_j\tag{8}$$ 它可以展开成方程组 $$\begin{cases}a_1=b_{11}c_1+b_{12}c_2+\cdots+b_{1n}c_n\\a_2=b_{21}c_1+b_{22}c_2+\cdots+b_{2n}c_n\\\vdots\\a_m=b_{m1}c_1+b_{m2}c_2+\cdots+b_{mn}c_n\end{cases}\tag{8'}$$
有了爱因斯坦求和约定，散度就可以直接表示成 $$\nabla\cdot\boldsymbol{F}=\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_i}}\tag{9}$$

列维-奇维塔符号

我们已经知道了散度的简便表示方法，接下来就应该尝试转向旋度。旋度作为一个向量，在三个方向上具有一定轮换对称性，因此我们只用考虑旋度在一个方向上的分量即可。旋度和散度还有一点不同的是旋度涉及到叉积的运算，但我们现在还不能很好地用爱因斯坦求和约定表示出两个向量的叉积，于是我们引入了列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol)$\varepsilon_{ijk}$，它的定义如下：

$$\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1,\space ijk两两不同且逆序数为偶数\\-1,\space ijk两两不同且逆序数为奇数\\0,\space 其他情况\end{cases}\tag{10}$$ 这是对任意维度列维-奇维塔符号都成立的定义，对于三维空间的情况，可以直接定义 $$\varepsilon_{123}=\varepsilon_{231}=\varepsilon_{312}=1\\\varepsilon_{321}=\varepsilon_{213}=\varepsilon_{132}=-1\\其余情况\varepsilon_{ijk}=0\tag{10'}$$ 这和$(10)$的定义是吻合的，而且我们可以从中发现两条性质 $$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij}\space(轮换对称性)\\\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}\space(反对称性)\tag{11}$$
借助列维-奇维塔符号，向量的叉积就可以以分量的形式表示为 $$(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_i=\varepsilon_{ijk}A_jB_k\tag{12}$$ 其正确性不难验证，我们就直接应用在旋度上 $$(\nabla\times\boldsymbol{F})_i=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial{F_k}}{\partial{x_j}}\tag{13}$$
现在，我们用列维-奇维塔符号推导$(4)$式 $$\nabla\cdot(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G})=\frac{\partial}{\partial{x_i}}(\varepsilon_{ijk}F_jG_k)\\=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial{x_i}}(F_jG_k)\\=\varepsilon_{ijk}(\frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}G_k+\frac{\partial{G_k}}{\partial{x_i}}F_j)\\=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}G_k+\varepsilon_{ijk}\frac{\partial{G_k}}{\partial{x_i}}F_j\\=\varepsilon_{kij}\frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}G_k-\varepsilon_{jik}\frac{\partial{G_k}}{\partial{x_i}}F_j\\=(\nabla\times\boldsymbol{F})_kG_k-(\nabla\times\boldsymbol{G})_jF_j\\=(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{G}-(\nabla\times\boldsymbol{G})\cdot\boldsymbol{F}\tag{4'}$$

克罗内克尔符号

当我们需要计算两次叉积的时候，会出现下面这个式子

$$(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}))_i=\varepsilon_{ijk}A_j(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})_k\\=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{kmn}B_mC_n\\=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}A_jB_mC_n\tag{14}$$ 我们发现$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kml}$是两个三阶张量的乘积，因此我们希望能够降到二阶甚至一阶。二阶张量中有一个特殊的张量--克罗内克尔符号(Kronecker symbol)$\delta_{ij}$，其满足 $$\delta_{ij}=\begin{cases}1,\space i=j\\0,\space i \neq j\end{cases}\tag{15}$$
克罗内克尔符号的有一些有趣的性质，它可以由多种方式产生，例如 $$\boldsymbol{e_i}\cdot\boldsymbol{e_j}=\delta_{ij}\\\frac{\partial{x_j}}{\partial{x_i}}=\delta_{ij}\tag{16}$$ 克罗内克尔符号有“置换”的功能 $$\delta_{ij}a_j=a_i\\\begin{cases}\delta_{ij}a_{jk}=a_{ik}\\\delta_{ij}a_{kj}=a_{ki}\end{cases}\tag{17}$$ 对于克罗内克尔符号，我们需要的最重要的结论是 $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jm} \delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}\tag{18}$$ 它可以进一步推出 $$(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}))_i=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}A_jB_mC_n\\=(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})A_jB_mC_n\\=A_jB_iC_j-A_jB_jC_i\\=(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})B_i-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})C_i\tag{14'}$$ 即 $$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}\tag{14''}$$ 这就是向量三重叉积的公式。
让我们回到叉积的旋度和旋度的旋度，为了让过程更紧凑，可以把$\frac{\partial}{\partial{x_i}}$简记为$\partial_i$，并且注意到$\partial$和后面接的分量特殊处理。代回到$(6)$中 $$(\nabla\times(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G}))_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G})_k\\=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}\partial_j(F_mG_n)\\=(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})(\partial_jF_mG_n+\partial_jG_nF_m)\\=\partial_jF_iG_j-\partial_jF_jG_i+\partial_jG_jF_i-\partial_jG_iF_j\\=(\partial_jG_j+G_j\partial_j)F_i-(\partial_jF_j+F_j\partial_j)G_i\\=(\nabla\cdot\boldsymbol{G}+\boldsymbol{G}\cdot\nabla)F_i-(\nabla\cdot\boldsymbol{F}+\boldsymbol{F}\cdot\nabla)G_i\tag{6'}$$ $(7)$式的操作也是类似的 $$(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{F}))_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j(\nabla\times\boldsymbol{F})_k\\=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}\partial_j\partial_mF_n\\=(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})\partial_j\partial_mF_n\\=\partial_j\partial_iF_j-\partial_j\partial_jF_i\\=\partial_i\partial_jF_j-\partial_j^2F_i\\=(\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{F})-\nabla^2\boldsymbol{F})_i\tag{7'}$$